Imam Suharjo @ UMB Yogya

Soal Induksi Matematika, Buktikan bahwa : 1 +  a¹ + a² +….. + aⁿ =  (1- aⁿ⁺¹) / ( 1 –a)  untuk semua n >=0 dan a tidak sama dengan 1.

Soal Induksi Matematika Disktrit, Buktikan bahawa : 3 .5⁰+3.5¹+3.5²+…+3.5ⁿ= 3(5 ⁿ⁺¹-1) / 4  dimana n >= 0

1. Basis Induksi, dengan n =0 maka didapatkan

• 3 .5⁰  = 3 akan sama dengan
• 3(5 ⁿ⁺¹-1) / 4 = 3. (5⁰⁺¹  – 1) / 4 = 12 / 4 = 3 ==> BENAR

2. Langkah Induksi, untuk n+1

• 3 .5⁰+3.5¹+3.5²+…+3.5ⁿ= 3(5 ⁿ⁺¹-1) / 4
• 3 .5⁰+3.5¹+3.5²+…+3.5ⁿ  + 3. 5ⁿ⁺¹ = 3(5 ⁿ⁺²-1) / 4
• 3(5 ⁿ⁺¹-1) / 4 + 3. 5ⁿ⁺¹ = 3(5 ⁿ⁺²-1) / 4
• (3(5 ⁿ⁺¹-1)  + 4. 3. 5ⁿ⁺¹ ) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4
• (3.5 ⁿ⁺¹ – 3  + 12. 5ⁿ⁺¹ ) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4
• (3.5 ⁿ⁺¹ + 12. 5ⁿ⁺¹ – 3) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4
• (15.5 ⁿ⁺¹ – 3) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4   à (15 merupakan 3 x 5 atau 3 x 5 ¹)
• (3.5 ¹.5 ⁿ⁺¹ – 3) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4
• (3.5 ⁿ⁺² – 3) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4     à (5 ¹.5 ⁿ⁺¹  sama dengan 5 ⁿ⁺¹⁺¹ )
• 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4 = 3 (5 ⁿ⁺² – 1) / 4 ==> terbukti BENAR

(Sebelah kirim sudah sama dengan kanan, jadi terbukti). Kedua langkah memberikan bukti benar, maka kesimpulan terbukti.

Soal Induksi Matematika, Buktikan : n⁴ – 4n² habis dibagi 3, untuk semua bilangan bulat lebih >=2.

Langkah Basis Induksi, Untuk n=2 , maka

• n⁴ – 4n² = 2⁴ – 4.2²  =16 – 16 = 0
• hasilnya =0, angka 0 dibagi 3 adalah 0

Langkah Induksi, untuk n +1, maka

• = n⁴ – 4n² = (n+1)⁴ – 4(n+1)² = n⁴+4n³+6n²+4n+1 – 4(n²+2n+1)
• = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1 – 4n² – 8n – 4
• = (n⁴ – 4n² )+ 4n³ + 6n² – 4n – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4n³ – 4n – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4n(n² – 1) – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4 n (n – 1) (n+1) – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4 (n – 1) n (n+1) – 3

Kita lihat satu persatu hasil perhitungan terakhir diatas

• (n⁴ – 4n² ) : Terbuka dari langkah awal basis Induksi
• 6n² : Bilangan bulan kelipana 6 pasti habis dibagi 3
• 4 (n – 1) n (n+1) = perkalian 3 buah bilangan bulang berurutan (n-1), n dan (n+1) pasti kelipatan 3, misal 1 x 2 x 3 atau 4 x 5 x 6
• – 3 : Sudah jelas kelipatan 3

Contoh Soal : Buktikan  n⁵ – n habis dibagi 5,  n bilangan bulat positif.

Langkah Basis Induksi : n = 1. maka 1⁵ – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, maka pernyataan bernilai benar asumsikan n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap

Langkah Induksi : (n+1)

Bilangan bulat positif akan dibuktikan untuk (n+1)
= (n+1) ⁵ – (n+1) = (n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n +1) – (n+1)
= n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n +1 – n -1
= n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n – n
= (n⁵ – n) + (5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n)
= (n⁵ – n) + 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n)

Diasumsikan di awal bahwa n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif, maka, karena 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1) ⁵ – (n+1) habis dibagi 5. Maka, terbukti bahwa n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif.