Soal Induksi Matematika Disktrit, Buktikan bahawa : 3 .50+3.51+3.52+…+3.5n= 3(5 n+1-1) / 4  dimana n >= 0

1. Basis Induksi, dengan n =0 maka didapatkan

  • 3 .5= 3 akan sama dengan
  • 3(5 n+1-1) / 4 = 3. (50+1  – 1) / 4 = 12 / 4 = 3 ==> BENAR

2. Langkah Induksi, untuk n+1

  • 3 .50+3.51+3.52+…+3.5n= 3(5 n+1-1) / 4
  • 3 .50+3.51+3.52+…+3.5+ 3. 5n+1 = 3(5 n+2-1) / 4
  • 3(5 n+1-1) / 4 + 3. 5n+1 = 3(5 n+2-1) / 4
  • (3(5 n+1-1)  + 4. 3. 5n+1 ) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+1 – 3  + 12. 5n+1 ) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+1 + 12. 5n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (15.5 n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4   à (15 merupakan 3 x 5 atau 3 x 5 1)
  • (3.5 1.5 n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+2 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4     à (5 1.5 n+1  sama dengan 5 n+1+1 )
  • 3 (5 n+2 – 1) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4 ==> terbukti BENAR

(Sebelah kirim sudah sama dengan kanan, jadi terbukti). Kedua langkah memberikan bukti benar, maka kesimpulan terbukti.

Soal Induksi Matematika, Buktikan : n4 – 4n2 habis dibagi 3, untuk semua bilangan bulat lebih >=2.

Langkah Basis Induksi, Untuk n=2 , maka

  • n4 – 4n2 = 24 – 4.22  =16 – 16 = 0
  • hasilnya =0, angka 0 dibagi 3 adalah 0

Langkah Induksi, untuk n +1, maka

  • = n4 – 4n2 = (n+1)4 – 4(n+1)2 = n4+4n3+6n2+4n+1 – 4(n2+2n+1)
  • = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 – 4n2 – 8n – 4
  • = (n4 – 4n2 )+ 4n3 + 6n2 – 4n – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4n3 – 4n – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4n(n2 – 1) – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4 n (n – 1) (n+1) – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4 (n – 1) n (n+1) – 3

Kita lihat satu persatu hasil perhitungan terakhir diatas

  • (n4 – 4n2 ) : Terbuka dari langkah awal basis Induksi
  • 6n2 : Bilangan bulan kelipana 6 pasti habis dibagi 3
  • 4 (n – 1) n (n+1) = perkalian 3 buah bilangan bulang berurutan (n-1), n dan (n+1) pasti kelipatan 3, misal 1 x 2 x 3 atau 4 x 5 x 6
  • – 3 : Sudah jelas kelipatan 3

Contoh Soal : Buktikan  n5 – n habis dibagi 5,  n bilangan bulat positif.

Langkah Basis Induksi : n = 1. maka 15 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, maka pernyataan bernilai benar asumsikan n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap

Langkah Induksi : (n+1)

Bilangan bulat positif akan dibuktikan untuk (n+1)
= (n+1) 5 – (n+1) = (n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n +1) – (n+1)
= n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n +1 – n -1
= n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n – n
= (n5 – n) + (5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n)
= (n5 – n) + 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n)

Diasumsikan di awal bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif, maka, karena 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1) 5 – (n+1) habis dibagi 5. Maka, terbukti bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif.

Saya membuat kanal video di Youteube untuk membantu proses belajar Maatematika disktri terutama di FTI Universitas Mercu buana Yogyakarta. Kanal tersebut bisa diakses di link dibawah ini Kanal youtube Matematika Disktrit.

Kanal ini terbuka bagi siapa saja untuk melihat, saran dan masukan bisa langusng di masing-masing video. terima kasih. 🙂