Soal Induksi Matematika Disktrit, Buktikan bahawa : 3 .50+3.51+3.52+…+3.5n= 3(5 n+1-1) / 4  dimana n >= 0

1. Basis Induksi, dengan n =0 maka didapatkan

  • 3 .5= 3 akan sama dengan
  • 3(5 n+1-1) / 4 = 3. (50+1  – 1) / 4 = 12 / 4 = 3 ==> BENAR

2. Langkah Induksi, untuk n+1

  • 3 .50+3.51+3.52+…+3.5n= 3(5 n+1-1) / 4
  • 3 .50+3.51+3.52+…+3.5+ 3. 5n+1 = 3(5 n+2-1) / 4
  • 3(5 n+1-1) / 4 + 3. 5n+1 = 3(5 n+2-1) / 4
  • (3(5 n+1-1)  + 4. 3. 5n+1 ) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+1 – 3  + 12. 5n+1 ) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+1 + 12. 5n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (15.5 n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4   à (15 merupakan 3 x 5 atau 3 x 5 1)
  • (3.5 1.5 n+1 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4
  • (3.5 n+2 – 3) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4     à (5 1.5 n+1  sama dengan 5 n+1+1 )
  • 3 (5 n+2 – 1) / 4 = 3 (5 n+2 – 1) / 4 ==> terbukti BENAR

(Sebelah kirim sudah sama dengan kanan, jadi terbukti). Kedua langkah memberikan bukti benar, maka kesimpulan terbukti.

Soal Induksi Matematika, Buktikan : n4 – 4n2 habis dibagi 3, untuk semua bilangan bulat lebih >=2.

Langkah Basis Induksi, Untuk n=2 , maka

  • n4 – 4n2 = 24 – 4.22  =16 – 16 = 0
  • hasilnya =0, angka 0 dibagi 3 adalah 0

Langkah Induksi, untuk n +1, maka

  • = n4 – 4n2 = (n+1)4 – 4(n+1)2 = n4+4n3+6n2+4n+1 – 4(n2+2n+1)
  • = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 – 4n2 – 8n – 4
  • = (n4 – 4n2 )+ 4n3 + 6n2 – 4n – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4n3 – 4n – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4n(n2 – 1) – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4 n (n – 1) (n+1) – 3
  • = (n4 – 4n2 ) + 6n2 + 4 (n – 1) n (n+1) – 3

Kita lihat satu persatu hasil perhitungan terakhir diatas

  • (n4 – 4n2 ) : Terbuka dari langkah awal basis Induksi
  • 6n2 : Bilangan bulan kelipana 6 pasti habis dibagi 3
  • 4 (n – 1) n (n+1) = perkalian 3 buah bilangan bulang berurutan (n-1), n dan (n+1) pasti kelipatan 3, misal 1 x 2 x 3 atau 4 x 5 x 6
  • – 3 : Sudah jelas kelipatan 3

Contoh Soal : Buktikan  n5 – n habis dibagi 5,  n bilangan bulat positif.

Langkah Basis Induksi : n = 1. maka 15 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, maka pernyataan bernilai benar asumsikan n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap

Langkah Induksi : (n+1)

Bilangan bulat positif akan dibuktikan untuk (n+1)
= (n+1) 5 – (n+1) = (n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n +1) – (n+1)
= n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n +1 – n -1
= n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n – n
= (n5 – n) + (5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n)
= (n5 – n) + 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n)

Diasumsikan di awal bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif, maka, karena 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1) 5 – (n+1) habis dibagi 5. Maka, terbukti bahwa n5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif.