Soal Induksi dan Penyelesaian n^5 – n habis dibagi 5

Contoh Soal : Buktikan  n⁵ – n habis dibagi 5,  n bilangan bulat positif.

Langkah Basis Induksi : n = 1. maka 1⁵ – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, maka pernyataan bernilai benar asumsikan n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap

Langkah Induksi : (n+1)

Bilangan bulat positif akan dibuktikan untuk (n+1)
= (n+1) ⁵ – (n+1) = (n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n +1) – (n+1)
= n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n +1 – n -1
= n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n – n
= (n⁵ – n) + (5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n)
= (n⁵ – n) + 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n)

Diasumsikan di awal bahwa n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif, maka, karena 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1) ⁵ – (n+1) habis dibagi 5. Maka, terbukti bahwa n⁵ – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bulat positif.