Soal Induksi Buktikan : n^4 – 4n^2 habis dibagi 3, untuk semua bilangan bulat lebih dari sama dengan 2

Soal Induksi Matematika, Buktikan : n⁴ – 4n² habis dibagi 3, untuk semua bilangan bulat lebih >=2.

Langkah Basis Induksi, Untuk n=2 , maka

• n⁴ – 4n² = 2⁴ – 4.2²  =16 – 16 = 0
• hasilnya =0, angka 0 dibagi 3 adalah 0

Langkah Induksi, untuk n +1, maka

• = n⁴ – 4n² = (n+1)⁴ – 4(n+1)² = n⁴+4n³+6n²+4n+1 – 4(n²+2n+1)
• = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1 – 4n² – 8n – 4
• = (n⁴ – 4n² )+ 4n³ + 6n² – 4n – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4n³ – 4n – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4n(n² – 1) – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4 n (n – 1) (n+1) – 3
• = (n⁴ – 4n² ) + 6n² + 4 (n – 1) n (n+1) – 3

Kita lihat satu persatu hasil perhitungan terakhir diatas

• (n⁴ – 4n² ) : Terbuka dari langkah awal basis Induksi
• 6n² : Bilangan bulan kelipana 6 pasti habis dibagi 3
• 4 (n – 1) n (n+1) = perkalian 3 buah bilangan bulang berurutan (n-1), n dan (n+1) pasti kelipatan 3, misal 1 x 2 x 3 atau 4 x 5 x 6
• – 3 : Sudah jelas kelipatan 3